Đồng quy tại 1 điểm

3 đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại 1 điểm. Điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác. Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

Chia ra diện tích của các tam giác bằng nhau

Mỗi trung tuyến chia diện tích của tam giác thành hai phần bằng nhau. Ba trung tuyến chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau.

Chứng minh

Xem xét tam giác ABC (hình bên), cho D là trung điểm của A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} , E là trung điểm của B C ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}} , F là trung điểm của A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} , và O là trọng tâm.

Theo định nghĩa, A D = D B , A F = F C , B E = E C {\displaystyle AD=DB,AF=FC,BE=EC\,} . Do đó [ A D O ] = [ B D O ] , [ A F O ] = [ C F O ] , [ B E O ] = [ C E O ] , {\displaystyle [ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],} và [ A B E ] = [ A C E ] {\displaystyle [ABE]=[ACE]\,} , trong đó [ A B C ] {\displaystyle [ABC]} là diện tích của △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} ; điều này đúng bởi trong mỗi trường hợp hai tam giác có chiều dài đáy bằng nhau, và có cùng đường cao từ đáy (mở rộng), và diện tích của tam giác thì bằng một phần hai đáy nhân đường cao.

Chúng ta có:

[ A B O ] = [ A B E ] − [ B E O ] {\displaystyle [ABO]=[ABE]-[BEO]\,} [ A C O ] = [ A C E ] − [ C E O ] {\displaystyle [ACO]=[ACE]-[CEO]\,}

Do đó, [ A B O ] = [ A C O ] {\displaystyle [ABO]=[ACO]\,} và [ A D O ] = [ D B O ] , [ A D O ] = 1 2 [ A B O ] {\displaystyle [ADO]=[DBO],[ADO]={\frac {1}{2}}[ABO]}

Do [ A F O ] = [ F C O ] , [ A F O ] = 1 2 A C O = 1 2 [ A B O ] = [ A D O ] {\displaystyle [AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}ACO={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]} , do đó, [ A F O ] = [ F C O ] = [ D B O ] = [ A D O ] {\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]\,} . Sử dụng cùng phương pháp này, ta có thể chứng minh [ A F O ] = [ F C O ] = [ D B O ] = [ A D O ] = [ B E O ] = [ C E O ] {\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]\,} .